Алексей Гусько родился 15 июня 1925 года в станице Новоминская в крестьянской семье. Окончил восемь классов школы, после чего работал в колхозе. В июле 1942 года Гусько был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию и направлен на фронт Великой Отечественной войны. Окончил полковую артиллерийскую школу. К апрелю 1945 года гвардии сержант Алексей Гусько был наводчиком орудия 183-го гвардейского артиллерийско-миномётного полка 10-й гвардейской  кавалерийской дивизии 4-го гвардейского кавалерийского корпуса 2-го Украинского фронта. Отличился во время освобождения Чехословакии.

28 марта 1945 года во время форсирования реки Нитра Гусько получил ранение, но не покинул подразделение, оставшись в строю.

1 апреля 1945 года в боях за освобождение словацкого города Трнава, отражая немецкую контратаку восьми танков при поддержке мотопехоты, подбил танк ибронетранспортер. Получил тяжёлое ранение, но поля боя не покинул, продолжая вести огонь, пока не скончался от полученных ранений. Похоронен в братской могиле в Братиславе.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 мая 1946 года гвардии сержант Алексей Гусько посмертно был удостоен высокого звания Героя Советского Союза. Также был награждён орденами Ленина и  Славя 3-й степени, медалью.

В Новоминской установлен памятник Гусько, в его честь там же названа улица, также школа МБОУ СОШ №35 была названа в честь Гусько.

Подвиг ваш - бессмертен, память о вас – вечна!